Ред

Тема 25. Элементы числовых методов

Приближенные решения дифференциальных уравнений в частных производных. Погрешности, вычислительные методы. Реализация численной модели в сервисе.

Практическое занятие 1:

Погрешности, вычислительные методы.

Практическое занятие 2:

Реализация численной модели в сервисе.

ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА

Самостоятельная работа студентов по дисциплине включает:

самостоятельное изучение теоретических разделов дисциплины по заданию лектора;
повторение и углубленное изучение лекционного материала;
решение практических задач и подготовку к практическим занятиям;
выполнение расчетно-графических работ;
выполнение контрольных работ;
подготовку к зачету и экзамену.

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

(для студентов заочного обучения)

1 семестр

Линейная алгебра.
Аналитическая геометрия.
Дифференциальные исчисления.

2 семестр

Интегральное исчисление.
Дифференциальные уравнения.
Комплексные числа.

3 семестр

Функции нескольких переменных.
Двойные, тройные и криволинейные интегралы.
Элементы теория поля.
Ряды.

4 семестр

Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление.
Теория вероятностей.
Элементы математической статистики.

ФОРМЫ И ВИДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

Текущий контроль:

опрос на практических занятиях;
проверка выполнения контрольных заданий и задач;
защита контрольных работ;
рубежный контроль.

Промежуточная аттестация – зачетно-экзаменационная сессия:

зачет – по результатам проведения всех форм текущего контроля в соответствии с учебным планом;
экзамен проводится в устной или письменной форме при условии выполнения всех форм текущего контроля и в соответствии с учебным планом.

Контроль остаточных знаний студентов (тесты).

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

Линейная алгебра

Матрицы, операции над ними.
Определители и их свойства.
Ранг матрицы.
Обратная матрица.
Теорема Кронекера-Капелли.
Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Векторная алгебра

Линейные операции над векторами.
Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов.
Понятие о линейном векторном пространстве.
Базис, собственные числа, собственные вектора.

Аналитическая геометрия.

Декартова система координат.
Простейшие задачи на плоскости (деление отрезка в заданном отношении, расстояние между двумя точками).
Преобразование координат.
Система полярных координат.
Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.
Геометрический смысл линейных неравенств и их систем.
Кривые II-го порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения.
Уравнение плоскости в пространстве.
Прямая в пространстве, каноническое уравнение. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Поверхности II-го порядка; исследование формы поверхности по сечениям параллельным координатным плоскостям.

Дифференциальное исчисление.

Элементы теории множеств.
Функция, область определения, способы задания. Сложная и обратная функции.
Предел функции.
Основные теоремы о пределах.
Замечательные пределы.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.
Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.
Точки разрыва.
Производная и дифференциал функции одной переменной.
Задачи, приводящие к понятию производной.
Производная, ее геометрический смысл.
Правила дифференцирования.
Таблица производных.
Производная сложной и обратной функций, функций, заданных неявно и параметрически.
Дифференциал функции, его геометрический смысл, правило вычисления дифференциалов.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Приложение производной и дифференциала функции одной переменной.
Правило Лопиталя.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
Монотонность.
Понятие экстремума, основные теоремы.
Выпуклость и вогнутость, точки перегиба, асимптоты.
Исследование функций и построение графика.
Наибольшее и наименьшее значения на отрезке.
Приближенное решение уравнений (метод хорд и касательных).

Интегральное исчисление.

Первообразная.
Неопределенный интеграл, свойства.
Таблица интегралов.
Основные методы интегрирования:

замена переменных;
интегрирование по частям;
интегрирование дробно-рациональных функций (алгебра многочленов: разложение многочлена на множители, разложение рациональных дробей на простейшие);
интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.

Определенный интеграл, геометрический смысл, свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной и интегрирование по частям.
Приближенное вычисление интегралов по формуле трапеций и оценка погрешности.
Приближенное вычисление интегралов по формуле Симпсона и оценка погрешности.
Несобственные интегралы I-го и II-го рода, признаки сходимости.
Геометрическое приложение определенного интеграла:

вычисление
площадей плоских фигур;
длины дуги плоской линии;
объема и площади поверхности тела вращения.

Функции нескольких переменных.

Функции двух и трех переменных, основные понятия. Предел и непрерывность.
Частные и полное приращения функции. Частные производные I-го порядка.
Полный дифференциал.
Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
Производные высших порядков.
Частные производные сложных и неявных функций.
Производная по направлению и градиент.
Экстремумы функции двух переменных, необходимое и достаточное условия.
Наибольшее и наименьшее значение функции, заданной в области.
Метод наименьших квадратов.
Двойной интеграл как предел интегральных сумм, основные свойства, геометрический смысл.
Изменение порядка интегрирования.
Приложения двойных интегралов.
Тройной интеграл, его приложения.
Замена переменных в кратных интегралах.
Криволинейные интегралы I-го и II-го рода, свойства и вычисление.
Формула Грина.
Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Элементы теории поля.

Векторная функция скалярного аргумента.
Производная, ее геометрический смысл.
Уравнение касательной и нормальной плоскостей.
Поверхностный интеграл.
Векторное поле
Поток через поверхность.
Дивергенция и формула Остроградского.
Циркуляция и ротор векторного поля.
Формула Стокса.
Потенциальное векторное поле.

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения I-го порядка, геометрический смысл. Общее частное и особые решения.
Задача Коши, теорема о существовании и единственности решения.
Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка.
Однородные дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения высших порядков, общее решение, задача Коши.
Уравнения II-го порядка, приводимые к уравнениям I-го порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения II-го порядка.
Определитель Вронского, структура общих решений.
Линейные однородные дифференциальные уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные дифференциальные уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Системы линейных дифференциальных уравнений I-го порядка с постоянными коэффициентами.

Ряды.

Числовые ряды. Свойства рядов. Сумма ряда.
Необходимое условие сходимости.
Ряды с положительными членами.
Признаки сравнения.
Признаки сходимости Даламбера и Коши (радикальный и интегральный).
Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница.
Абсолютная и условная сходимости ряда.
Функциональный ряд, область сходимости.
Степенные ряды.
Теорема Абеля, радиус сходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Разложение функций в ряд Тейлора.
Приложение рядов к приближенным вычислениям (значений функций, пределов, определенных интегралов, дифференциальных уравнений).
Тригонометрический ряд Фурье, достаточное условие разложимости функций в ряд Фурье.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Функции комплексного переменного.

Комплексные числа, изображение на плоскости.
Алгебраическая и тригонометрическая формы записи.
Основные действия над комплексными числами.
Формула Муавра.
Показательная форма комплексного числа.
Формулы Эйлера.

Элементы операционного исчисления.

Оригиналы и изображения.
Изображения некоторых функций.
Теоремы операционного исчисления.
Дифференцирование и интегрирование оригиналов.
Сводная таблица оригиналов и изображений.
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Интегрирование систем дифференциальных уравнений.

Основы теории вероятностей.

Случайные события, основные понятия, алгебра событий.
Формулы Бейеса.
Схема событий Бернулли.
Случайные величины.
Ряд распределения, плотность распределения, функция распределения.
Числовые характеристики случайных величин:

математическое ожидание;
дисперсия;
среднее квадратичное отклонение.

Нормальный закон распределения.
Законы распределения (Пуассона и др.).
Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Закон больших чисел.

Элементы математической статистики.

Основные задачи математической статистики.
Генеральная и выборочная совокупности.
Вариационный ряд: мода, медиана, размах.
Статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения, полигон, гистограмма.
Выравнивание статистических рядов.
Критерий согласия.
Критерий Пирсона.
Оценки для неизвестных параметров распределения.
Доверительный интервал и вероятность попадания в интервал.
Элементы теории корреляции. Две основные задачи теории корреляции.
Уравнение прямой линии регрессии.
Коэффициент корреляции.
Статистическая проверка гипотезы. Корреляция рангов.

Дискретная математика.

Системы счислений.
Бинарные отношения.
Логические операции, их свойства.
Алгебра высказываний и предикатов.
Основные понятия теории графов.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

Высшая математика для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2006.
Исследование операций в экономике : учеб. пособие / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : Банки и биржи : ЮНИТИ, 2005.
Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. – М. : ЮНИТИ, 2006.
Практикум по высшей математике для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2004.

Дополнительная:

Арефьев, А. В. Математика. Введение в математический анализ : учеб. пособие / А. В. Арефьев, А. Л. Пирозерский. – СПб. : СПбГАСЭ, 2003.
Вентцель, Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология : учеб. пособие / Е. С. Вентцель. – М. : Дрофа, 2004.
Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – М. : Высшая школа, 2006.
Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие / В. Е. Гмурман . – М. : Высшая школа, 2003.
Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. – М. : Оникс 21 век, 2005.
Кропачева, Н. Ю. Элементы теории вероятностей : метод. указ. по изучению курса / Н. Ю. Кропачева, Г. А. Петросян. – СПб. : СПбГАСЭ, 2003.
Никитин, С. И. Кратные интегралы : метод. указ. по изучению курса / С. И. Никитин. – СПб. : СПбГАСЭ, 2002.
Никитин, С. И. Элементы дискретной математике и теории игр : учеб. пособие / С. И. Никитин, Н. А. Серебрянская. – СПб. : СПбГУСЭ, 2006.
Пирозерская, Л. П. Числовые ряды : метод. указ. по изучению курса / Л. П. Пирозерская. – СПб. : СПбГАСЭ, 2003.
Пирозерская, Л. П. Дифференциальные уравнения : метод. указ. по изучению курса / Л. П. Пирозерская, А. Л. Пирозерский . – СПб. : СПбГАСЭ, 2002.
Пирозерская, Л. П. Функциональные ряды : метод. указ. по изучению курса / Л. П. Пирозерская, Г. В. Шабанов. – СПб. : СПбГАСЭ, 2003.
Пирозерский, А.Л. Математика. Основы дискретной математики : метод. указ. по изучению курса / А. Л. Пирозерский, Л. П. Пирозерская. – СПб. : СПбГАСЭ, 2004.
Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. - М. : Айрис-пресс, 2003.
Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. Ч. 2 / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2005.
Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2006.
Просветов, Г. И. Математические методы в экономике : учеб.-метод. пособие / Г. И. Просветов. – М. : РДЛ, 2005.
Розен, В. В. Математические модели принятия решений в экономике : учеб. пособие / В. В. Розен. – М. : Высшая школа, 2002.
Сборник заданий по по математике : методические указания по выполнению контрольных работ / С. И. Никитин [и др.]. – СПб.: СПбГУСЭ, 2006.
Серебрянская, Н. А. Элементы линейной алгебры : метод. указ. по изучению курса / Н. А. Серебрянская. – СПб. : СПбГАСЭ, 2003.
Соколова, А. В. Функции нескольких переменных : метод. указ. по изучению курса / А. В. Соколова. – СПб. : СПбГИСЭ, 2001.

Составители: с.н.с., доц. кафедры «Высшая математика» Ж.Н. Кудряшева, ст. преподаватель кафедры Тихвинского филиала Т.С. Долгая.

Рецензент: д.т.н., проф. кафедры «Высшая математика» Н.П. Михайлов.

Содержание